对函数的再探索单元检测

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）

1.若y=mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数，则（　　）           

A. m，n，p均不为0                    B. m≠0，且n≠0                   

 C. m≠0                               D. m≠0，或p≠0

2.下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）           

A. y=                           B. y=x2+x﹣2                 

C. y=2x+1                       D. y2=x2+3x

3.将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为(  )．           

A. y=3(x+2)2-1                   B. y=3(x－2)2+1                  

C. y=3(x－2)2-1                  D. y=3(x+2)2+l

4.已知点（ ）、（ ）、（ ）在双曲线 上，当 时， 、 、 的大小关系是(   )           

A.                     B.                 

   C.                     D. 

5.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：  ①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有（   ）
 

A. 1个                                     B. 2个                                    C. 3个                                   D. 4个

6.抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（   ）           

A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位           

B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位           

D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

7.下列函数中，不是二次函数的是（　　）           

A. y=1﹣x2                      B. y=2x2+4              

C. y=（x﹣1）（x+4）             D. y=（x﹣2）2﹣x2

8.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=（　　）
 

A. ﹣1.3                                 B. ﹣2.3                                C. ﹣0.3                                 D. ﹣3.3

9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a<0   ②b<0 ③c>0   ④4a+2b+c=0, ⑤b+2a=0 ⑥ b2-4ac>0其中正确的个数是(     ）
 

A. 1个                                     B. 2个                                    C. 3个                                  D. 4个

10.若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（   ）           

A.抛物线开口向上
B.抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）
C.当x=1时，y的最大值为﹣4
D.抛物线的对称轴是直线x=1

11.下列图形中阴影部分面积相等的是（　　）
 

A. ①②                                  B. ②③                                C. ①④                              D. ③④

12.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的近似解为（　　）
 

A. x1≈﹣2.1，x2≈0.1            B. x1≈﹣2.5，x2≈0.5         

C. x1≈﹣2.9，x2≈0.9            D. x1≈﹣3，x2≈1

2、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）

13.已知y与 成反比例，当y=1时，x=4，则当x=2时，y=________．       

14.二次函数y=4x2+3的顶点坐标为________ ．   

15.如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为________ ．
 

16.若函数y=4x与y=的图象有一个交点是（， 2），则另一个交点坐标是________    

17.反比例函数y=﹣ ，当y的值小于﹣3时，x的取值范围是________．   

18.如图，一次函数与反比例的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是________．

 

19.二次函数的图象如图，对称轴为x=1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是________．
 

三、解答题（共4题，20小题7分，21小题8分，22小题14分，23小题14分）

20.y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：

（1）写出这个反比例函数的表达式；
（2）根据函数表达式完成上表．   

21.如图，二次函数y=(x-2)2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y=kx+b的图象上的点A（1,0）及B.

（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b（x-2）2+m的x的取值范围.   

22.如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．
 

（1）求抛物线的函数关系式；   

（2）判断△ABM的形状，并说明理由；   

（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点   

23.如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（﹣4，0），B（1，0），交y轴于C点，且OC=2OB．
 

（1）求抛物线的解析式；   

（2）在直线BC上找点D，使△ABD为以AB为腰的等腰三角形，求D点的坐标．   

（3）在抛物线上是否存在异于B的点P，过P点作PQ⊥AC于Q，使△APQ与△ABC相似？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

对函数的再探索单元检测答案解析

一、选择题

C  B  A  B  B  B  D  D  D  C  D  B 

二、填空题

13.

14. （0，3） 

15. 8 

16.

17. 0＜x＜1 

18. x＜﹣1或0＜x＜2 

19. ﹣1≤t＜8 

三、解答题

20. 解：（1）设反比例函数的表达式为y=，把x=﹣1，y=2代入得k=﹣2，y=﹣．
（2）将y=代入得：x=﹣3；
将x=﹣2代入得：y=1；
将x=﹣代入得：y=4；
将x=代入得：y=﹣4，
将x=1代入得：y=﹣2；
将y=﹣1代入得：x=2，
将x=3代入得：y=﹣．
故答案为：﹣3；1；4；﹣4；﹣2；2；-． 

21. 解;（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m得（1-2）2+m=0，解得m=-1，
所以二次函数解析式为y=（x-2）2-1；
当x=0时，y=4-1=3，
所以C点坐标为（0，3），
由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x=2，
所以B点坐标为（4，3），
将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得
，解得，
所以一次函数解析式为y=x-1；
（2）观察图像可得x的取值范围：x≤1或x≥4. 

22. （1）解：∵A点为直线y=x+1与x轴的交点，
∴A（﹣1，0），
又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，
∴B（2，3），
∵抛物线顶点在y轴上，
∴可设抛物线解析式为y=ax2+c，
把A、B两点坐标代入可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=x2﹣1；
（2）解：△ABM为直角三角形．理由如：
由（1）抛物线解析式为y=x2﹣1可知M点坐标为（0，﹣1），
∴AM= ，AB= = =3 ，BM= =2 ，
∴AM2+AB2=2+18=20=BM2  ，
∴△ABM为直角三角形
（3）解：当抛物线y=x2﹣1平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为y=（x﹣m）2+2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m，
联立y=x，可得 ，消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，
∵平移后的抛物线总有不动点，
∴方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0总有实数根，
∴△≥0，即（2m+1）2﹣4（m2+2m）≥0，
解得m≤ ，
即当m≤ 时，平移后的抛物线总有不动点 

23. （1）解：∵B（1，0），OC=2OB，
∴C（0，﹣2），
设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1），
把C（0，﹣2）代入得a4（﹣1）=﹣2，解得a= ，
∴抛物线的解析式为y= （x+4）（x﹣1），即y= x2+ x﹣2
（2）解：AB=1﹣（﹣4）=5，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（1，0），C（0，﹣2）代入得 ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y=2x﹣2，
设D（m，2m﹣2），
∵△ABD为以AB为腰的等腰三角形，
∴BD=BA=5或AD=AB=5，
当BD=BA时，即（m﹣1）2+（2m﹣2）2=52  ， 解得m1=1+ ，m2=1﹣ ，此时D点坐标为（1+ ，2 ），（1﹣ ，﹣2 ），
当AD=AB时，即（m+4）2+（2m﹣2）2=52  ， 解得m1=1（舍去），m2=﹣1，此时D点坐标为（﹣1，﹣4），
综上所述，满足条件的D点坐标为（1+ ，2 ），（1﹣ ，﹣2 ），（﹣1，﹣4）
（3）解：AB2=25，BC2=12+22=5，AC2=42+22=20，
∵AB2=BC2+AC2  ，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
∵∠BAC=∠CAO，
∴△ACO∽△ABC，
∵△APQ与△ABC相似，
∴∠CAP=∠OAC，
∴AC平分∠BAP，
设直线AP交y轴于E，作CF⊥AE于F，

则CF=CO=2，
∵∠CEF=∠AEO，
∴△ECF∽△EAO，
∴ = = = ，
在Rt△AOE中，∵OE2+OA2=AE2  ，
∴（2+CE）2+42=（2CE）2  ， 解得CE=﹣2（舍去）或CE= ，
∴E（0，﹣ ），
设直线AE的解析式为y=mx+n，
把A（﹣4，0），E（0，﹣ ）得 ，解得 ，
∴直线AE的解析式为y=﹣ x﹣ ，
解方程组 ，解得 或 ，
∴P（﹣ ，﹣ ）．