4.2.5 正态分布

命题人：梁桂媛   审核人：冯延生  审批人：      使用时间：2021年11月

【学习目标】

1．了解二项分布与正态曲线的关系，能借助正态曲线理解正态曲线的性质．(重点)

2．掌握正态分布的定义，会利用正态分布解决实际问题．(重点)

3．了解正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率．(难点)

一、    问题导学

问题1.已知X服从参数为100，0.5的二项分布，即X~B(100，0.5)，你能手工计算出P(X=50)的值吗？

二、概念生成

1．正态曲线及其性质

(1)正态曲线的定义：一般地,函数φ(x)=对应的图像称为正态曲线(也称“钟形曲线”,φ(x)也常记为φμ,σ(x)).其中μ＝        ，即X的      ;σ＝          ,即X的       .

(2)正态曲线的性质

①正态曲线关于           对称(即   决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间     、两边     的特点；

②正态曲线与x轴所围成的图形面积为    ；

③    决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越    ，数据的集中程度越    ，所以曲线越“    ”；σ越小，说明标准差越    ，数据的集中程度越    ，所以曲线越“    ”．

2．正态分布

(1)一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的     ，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～      ，此时φμ，σ(x)称为X的概率密度函数．

 μ是X的        ， σ是X的        ,σ2是X的       .

(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值

P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈      .    P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈      .     P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈      .

思考1：如果X～N(μ，σ2)，那么P(x≤μ)与P(x≥μ)之间存在怎样的等量关系？

3．标准正态分布

(1)定义：μ＝   且σ＝   的分布称为标准正态分布，记作X～       ．

(2)概率计算方法：

如果X～N(0,1)，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝      ，其中Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内所围的面积．特别地，Φ(－a)＋Φ(a)＝    .

思考2：正态分布Y～N(μ，σ2)化为标准正态分布的变换是什么？

三、典例解析

例1.求正态曲线与x轴在下列区间内所围面积（精确到0.001）

（1）[μ，+∞]；                   （2）[μ -σ ，μ+σ]

（3）[μ-2σ，μ+2σ]                 （4）[μ-3σ，μ+3σ].

例2. 假设某地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170（单位：cm，下同），标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：

（1）不高于170的概率；

（2）在区间[160，180]内的概率；

（3）不高于180的概率.

跟踪训练1.设随机变量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c-1).

(1)求c的值;

(2)求P(-4≤X≤8).

例3．某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：）.该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于大于.

（1）求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于的概率约为多少;

（2）检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.

例4.已知X~N(0 ，1 )，利用上述表格求以下概率值：

（1）P(X ＜ 0.28)；      （2）P(X ＜－ 0.36)；        （3）P(0.18≤X ＜ 0.57)；

【当堂检测】

1.下列函数是正态分布密度函数的是(　　)

A.f(x)=,μ,σ(σ>0)都是实数   B.f(x)=   C.f(x)=   D.f(x)=

2.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(0,σ2).若ξ在(-∞,-1)内取值的概率为0.1,则ξ在(0,1)内取值的概率为(　　)    A.0.8                      B.0.4                        C.0.2                             D.0.1

3.某县农民月均收入服从N(500,202)的正态分布,则此县农民月均收入在500元到520元间人数的百分比约为　　　　　. 

4.某种零件的尺寸ξ(单位:cm)服从正态分布N(3,12),则不属于区间[1,5]这个尺寸范围的零件数约占总数的　　　　　. 

5.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,求ξ在(0,2)内取值的概率.

【课后练习】

1.   已知随机变量服从正态分布N（3，），求P（<3）.

4.设随机变量服从标准正态分布N(0，1)，已知(一1.96)=0.025，求P(<1.96).

5.已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)=0.6826，求P(X>4).

6. 已知随机变量服从正态分布N(0，)，若P(>2)=0.023，求P().

7.已知随机变量服从正态分布N(2，)，且P(<4)=0.8，求P(0<<2).

8.一商场经营的某种包装的大米质量X(单位：kg)服从正态分布N(10，)，且P(X<10.5)=0.8.从该商场中任意抽取一袋该种大米，求其质量在9.5-10.5kg之间的概率.