杨辉三角

【教学分析】

【教学目标】

1.了解杨辉三角,并探索其中的规律，培养学生数学抽象、逻辑推理的数学核心素养.

2.掌握二项式系数的性质及其应用，体会从特殊到一般的数学思想.

3.掌握“赋值法”并会灵活运用.

【评价目标】

1.教学内容的效果评价，可通过课后网限时训练本节课的内容，统计本节课错题情况，根据错题的数量和集中程度来评价.

2.在传统评分的基础上，可以根据解题情况对学生的数学学科核心素养水平的达成进行评价.

3.评价形式应多样化.评价形式除可利用微信小程序班级小管家批改晚上作业外，还可以采用课堂观察交流区留言、使用课堂测验、课堂抢答、开放式活动等评价形式.

4.评价结果的呈现要有利于增强学生学习数学的自信心，提高学生学习数学的兴趣，尽量避免终结性评价.

【教学重难点】

1.二项式系数的性质及其应用.

2.掌握“赋值法”的实质并能应用解决问题.

【教法学法】

本节课将采用直观教学和启发式教学相结合，鼓励学生通过

自主预习、自主探究、抢答问题等方式探索杨辉三角的奥秘，引导学生用数学的眼光观察问题，用数学的方法解决问题；提升学生数学抽象和逻辑推理的数学素养.教师适当地运用多媒体等教育技术辅助教学，使教学内容更加形象直观，增强教学效果，体现“教师为主导、学生为主体”的基本思想.

【课时安排】

1课时

【教学准备】

知识准备：二项式定理.

教学准备：课本、学案、练习册、练习本、文具、教具等.

【教学过程设计】

【知识回顾】

1.二项式定理：

                                        .

这个公式所表示的规律叫做二项式定理.

（1）等式右边的多项式叫的        ，共有        项.

（2）其中各项系数       叫做二项展开式的           .

（3）通项是二项展开式的第           项.

2.二项展开式的通项公式：                           .

设计意图：借助空中课堂，给学生时间，通过让学生自己根据提供的知识点复习填空，使得学生从自己学过的知识点入手，快速

进入数学课的学习，并为这节课的学习做知识储备.

【导入新课】

计算展开式的二项式系数并填入下表

n	展开式的二项式系数
1
2
3
4
5
6

思考：从上表可以发现，每一行的系数具有对称性，除此之外还有什么规律呢？

设计意图：学生自己动手在练习本上完成表格，根据自己计算的数据，猜测规律，可在评论区留言，老师适时引导及表扬，激发学生自主探究的热情,同时随时关注助教老师发的学生上课情况，提醒并引导学生集中注意力认真参与到课堂中来.

【讲授新课】

为了方便研究，把上表写成如下形式：

上面的二项式系数表称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.

引导学生一起来借助杨辉三角验证刚刚在评论区的猜测是否正确,从而得到了二项式系数的性质：

1.每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和.实际上反映了组合数的下列性质：

2.每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等.

 实际上反映了组合数的性质:

这两个性质较简单，学生大部分可以得到，另外两条性质，教师需加以引导：每一行数字（二项式系数）都是先增大在减小，所以每一行（二项式系数）会有最大值，哪一项的二项式系数最大呢？另外，第一行的系数和，第二行的系数和，第三行的系数和，以此类推，第n行的系数和呢？再次观察杨辉三角，并用数学语言进行总结表达.从而引导大部分学生可以得到以下性质：

3.如果二项式的幂指数n是偶数，其展开式中间一项   的二项式系数最大；如果二项式的幂指数n是奇数，那么其展开式中间两项       的二项式系数相等且最大；

4.二项展开式的二项式系数之和等于.

   即

给学生时间做课本30页的例1，初步感受赋值法的魅力.

随机提问学生通过例1的解答，结合性质4我们还可以得到什么结论呢？同学答完以后再找同学回答补充，最后老师给出结论：

设计意图：以学生为主体，学生思考为主，教师适时地抛出问题进行引导，而且让学生先猜想，然后一起验证其结论的正确性，学生注意力会比老师直接给出集中，学生会关心自己的结论是否会得到验证，从而会更好的参与到空中课堂中来.老师适度的关注评论区，适当的调整自己的课堂节奏，使学生更加容易接受新的知识点.

【知识应用】

1.二项式系数性质的应用

以课本例2、例3为例，学生思考以后进入抢答环节，学生进行作答讲解，老师适当的总结以后，进行变式练习：课本30页第1题、第3题.学生在评论区留言，在绝大多数同学给出答案后，找学生起来简单讲解.

2.赋值法的应用

在前面课本例1练习中学生已经对赋值法有了初步的了解，但是赋值法相对来说较为抽象，所以教师给出例题引导学生，师生一起来进行解决：

例2.设                              ，则

（1）求                           的值.

（2）求                                          的值.

（3）求                    的值.

引导学生观察所求式子与展开式相比较的联系与区别，思考通过给x赋予什么数值就可以达到想要的效果,从而一起解决问题.

并为学生提供相应的变式训练：

设                                        ，则

（1）求                            的值.

（2）求                                的值.

（3）求                             的值.

提醒学生注意与例题的联系和区别，快速计算并作答.

教师简单的进行总结.

3.与杨辉三角有关的问题

例3：如图所示,在杨辉三角中,斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列:记这个数列前n项和为,则等于(　　)

1. 128         B.144        C.155       D.164

采用检测的形式做答此题，可以统计正答率，从而更好的了解学生的掌握情况，并适时做出鼓励.之后进行类似的简单练习，巩固提高.

设计意图：在本节课新知识学完的基础上，快速的进入知识的应用，可起到巩固提高的效果，通过空中课堂练习过程中以学生自己作答讲解为主，老师指导总结，但是难度偏大的题目，可选择师生一起思考作答，空中课堂没有办法看到所有学生的作答情况，不能够全面的了解学生的掌握程度，但是教师会随时关注评论区，对于学生在解题中提出的问题，有代表性的进行解答，对于一些时间关系解决不了的，建议学生课下微信单独问老师进行详细解答，确保让问题全部得到解答，让学生学习上尽最大可能性不迷惑.

【评价反馈】

在教学过程中的变式练习中随时接受学生的反馈.

【课堂小结】

1.了解杨辉三角.

2.借助杨辉三角，掌握二项式系数的性质.

3.注意赋值法的灵活应用.

4.注意：区别二项式系数的和与各项系数的和；

区别奇（偶）数项二项式系数的和与奇（偶）数项系数的和；

区别展开式中二项式系数最大项与系数最大项.

【数学文化】

带领学生一起了解杨辉三角的历史，让学生了解我国古代的数学成就，激发学习数学的热情，增加民族自豪感.

【布置作业】

1.完成学案上“课后练习”部分；（见学案部分）

2.课后继续了解杨辉三角的历史及其在其他领域的应用.

【教学反思】

本节课学生始终在解决问题中学习、探索，参与了教学的全过程，成为了课堂教学的主体和学习的主人,教师时刻通过评论区关注学生的活动过程,适时给予引导，符合课程标准的教学理念.但是，空中课堂毕竟没有办法面对面的感受学生学习的情况，没有办法像平时课堂中进行合作探究，在讨论中学习，实在是一大遗憾，争取再好好构思课堂使学生的学习效果更佳贴近常规课堂.

【备课资料】

数学人教B版选修2-3课本及教师用书、新课程标准、选修2-3的相关课外资料书.

【学案】

                   杨辉三角

课型：新授课    主备：李明君   审核：曲兰梅

学习目标：

1.了解杨辉三角,并探索其中的规律，培养学生数学抽象、逻辑推理的数学核心素养.

2.掌握二项式系数的性质及其应用，体会从特殊到一般的数学思想.

3.掌握“赋值法”并会灵活运用.

教学重难点：

1.二项式系数的性质及其应用.

2.掌握“赋值法”的实质并能应用解决问题.

课堂预习案

1.认真阅读课本29页-30页，用红笔做好疑难标记.

2.自主学习，完成下列知识点填空.

(1)什么是杨辉三角？

(2)从杨辉三角中猜想二项式系数的性质：

①每一行的两端都是________，其余每个数都等于_______________________.

②每一行中，与首末两端________________的两个数相等.

③如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式_______________的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式_____________的二项式系数相等且最大.

④二项展开式的二项式系数的和等于_____________.

典型例题

例1. 已知展开式的各项二项式系数和等于1024，求展开式中含的项.

例2．求的展开式中二项式系数最大的项.

变式练习1：课本30练习A的第1题、第4题.

例3. 设                              ，则

（1）求                           的值.

（2）求                                          的值.

（3）求                    的值.

变式练习2：设                                        ，则（1）求                            的值.

（2）求                                的值.

（3）求                             的值.

例4. 如图所示,在杨辉三角中,斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列:记这个数列前n项和为,则等于(　　)

1. 128         B.144        C.155       D.164

变式练习3：如图数表满足:

(1)第n行首尾两数均为n;

(2)图中的递推关系类似杨辉三角,

则第10行的第2个数是________，第n(n≥2)行的第2个数是________. 

课后练习

1．在(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是(　　)

A．第＋1项      B．第n项

C．第n＋1        D．第n项与第n＋1项

2．(多选题)(x－)10的展开式中，系数最大的项是(　　)

A．第4项  B．第5项   C．第6项D．第7项

3．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是(　　)

A．－2 048  B．－1 023  C．－1 024  D．1 024

4．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)

A．10  B．20  C．30  D．120

5．已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于(　　)

A．4  B．5C．6  D．7

6．若(1－2x)2 009＝a0＋a1x＋…＋a2 009x2 009(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)

A．2  B．0  C．－1  D．－2

7．5310被8除的余数是(　　)

A．1  B．2  C．3  D．7

8．已知n∈N*，则1＋3C＋32C＋…＋3nC等于(　　)

A．3n  B．2n  C． 4n  D．5n

9．满足C＋C＋C＋…＋C＋C>1 000的最小偶数n为(　　)

A．8  B．10  C．12  D．14

10．(1＋2x)n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，展开式中二项式系数最大的项为第______项，系数最大的项为

  第      项.

11．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是第________项．

12．如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第______行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3.

13．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝29－n，则n＝____.

14..若的展开式中，倒数第5,6,7项的二项式系数顺次成等差数列，且展开后项数为奇数个，试求展开式中的常数项.

【课堂效果图】