4　法拉第电磁感应定律

一、电磁感应定律

1．感应电动势

电磁感应现象中产生的电动势叫做感应电动势，产生感应电动势的那部分导体相当于电源．

2．法拉第电磁感应定律

(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比．

(2)公式：E＝.

若闭合电路是一个匝数为n的线圈，则E＝n.

(3)在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯(Wb)，感应电动势的单位是伏特(V)．

二、导线切割磁感线时的感应电动势　反电动势

1．导线垂直于磁场运动，B、l、v两两垂直时，如图1所示，E＝Blv.

2．导线的运动方向与导线本身垂直，但与磁感线方向夹角为θ时，如图2所示，E＝Blvsin_θ.(导线长度为l)

图1　　　　　　　　　图2

3．反电动势

(1)定义：电动机转动时，由于切割磁感线，线圈中产生的削弱电源电动势作用的感应电动势．

(2)作用：反电动势的作用是阻碍线圈的转动．

1．判断下列说法的正误．

(1)在电磁感应现象中，有感应电流，就一定有感应电动势；反之，有感应电动势，就一定有感应电流．(　×　)

(2)线圈中磁通量的变化量ΔΦ越大，线圈中产生的感应电动势一定越大．(　×　)

(3)线圈放在磁场越强的位置，线圈中产生的感应电动势一定越大．(　×　)

(4)线圈中磁通量变化越快，线圈中产生的感应电动势一定越大．(　√　)

2．图3甲、乙中，金属导体中产生的感应电动势分别为E甲＝________，E乙＝________.

图3

答案　Blv　Blvsin θ

一、对电磁感应定律的理解

如图4所示，将条形磁铁从同一高度插入线圈的实验中．

图4

(1)快速插入和缓慢插入磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？

(2)分别用一根磁铁和两根磁铁以同样速度快速插入，磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？

(3)指针偏转角度取决于什么？

答案　(1)磁通量变化量相同，但磁通量变化的快慢不同，快速插入比缓慢插入时指针偏转角度大．

(2)用两根磁铁快速插入时磁通量变化量较大，磁通量变化率也较大，指针偏转角度较大．

(3)指针偏转角度大小取决于的大小．

1．感应电动势的大小由穿过电路的磁通量的变化率和线圈的匝数n共同决定，而与磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ的大小没有必然联系，和电路的电阻R无关．

2．当ΔΦ仅由B的变化引起时，则E＝n；当ΔΦ仅由S的变化引起时，则E＝n；当ΔΦ由B、S的变化同时引起时，则E＝n≠n.

3．在Φ－t图象中，图象上某点切线的斜率表示磁通量的变化率；在B－t图象中，某点切线的斜率表示磁感应强度的变化率.

例1　(2019·台州市联谊五校高二上学期期中)将闭合多匝线圈置于仅随时间变化的磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，关于线圈中产生的感应电动势和感应电流，下列表述正确的是(　　)

A．感应电动势的大小与线圈的匝数无关

B．穿过线圈的磁通量越大，感应电动势越大

C．穿过线圈的磁通量变化越快，感应电动势越大

D．感应电流产生的磁场方向与原磁场方向始终相同

答案　C

解析　由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势E＝n，即感应电动势与线圈匝数有关，故A错误；同时可知，感应电动势与磁通量的变化率有关，磁通量变化越快，感应电动势越大，故C正确；穿过线圈的磁通量大，但若所用的时间长，则感应电动势可能小，故B错误；由楞次定律可知：感应电流的磁场方向总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化，故原磁通量增加，感应电流的磁场与之反向，原磁通量减小，感应电流的磁场与原磁场方向相同，即“增反减同”，故D错误．

针对训练　(多选)(2019·宁波市效实中学期末)单匝线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动，穿过线圈的磁通量Φ随时间t的关系图象如图5所示，图线为余弦曲线的一部分，则(　　)

图5

A．在t＝0时刻，线圈中磁通量最大，感应电动势也最大

B．在t＝1×10－2 s时刻，感应电动势最大

C．在t＝2×10－2 s时刻，感应电动势为零

D．在0～2×10－2 s时间内，线圈中感应电动势的平均值为零

答案　BC

解析　由法拉第电磁感应定律知E∝，故t＝0及t＝2×10－2 s时刻，E＝0，A项错误，C项正确；t＝1×10－2 s时，E最大，B项正确；0～2×10－2 s时间内，ΔΦ≠0，则≠0，D项错误．

例2　如图6甲所示，一个圆形线圈的匝数n＝1 000匝，线圈面积S＝200 cm2，线圈的电阻r＝1 Ω，线圈外接一个阻值R＝4 Ω的电阻，把线圈放入一方向垂直于线圈平面向里的匀强磁场中，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示，求：

图6

(1)前4 s内的感应电动势的大小及电阻R上消耗的功率；

(2)前5 s内的平均感应电动势．

答案　(1)1 V　0.16 W　(2)0

解析　(1)前4 s内磁通量的变化量

ΔΦ＝Φ2－Φ1＝S(B2－B1)＝200×10－4×(0.4－0.2) Wb＝4×10－3 Wb

由法拉第电磁感应定律得E＝n＝1 000× V＝1 V．I＝＝ A，PR＝I2R＝()2×4 W＝0.16 W

(2)由题图乙知，4～6 s内的＝－0.2 T/s，则第5 s末的磁感应强度B2′＝0.2 T，前5 s内磁通量的变化量

ΔΦ′＝Φ2′－Φ1＝S(B2′－B1)＝200×10－4×(0.2－0.2) Wb＝0.由法拉第电磁感应定律得＝n＝0.

二、导线切割磁感线时的感应电动势

1．导线切割磁感线时感应电动势表达式的推导

图7

如图7所示，闭合电路一部分导线ab处于匀强磁场中，磁感应强度为B，ab的长度为l，ab以速度v匀速垂直切割磁感线．

则在Δt内穿过闭合电路磁通量的变化量为ΔΦ＝BΔS＝BlvΔt

根据法拉第电磁感应定律得E＝＝Blv.

2．对公式的理解

(1)当B、l、v三个量方向互相垂直时，E＝Blv；当有任意两个量的方向互相平行时，E＝0.

(2)当l垂直B，l垂直v，而v与B成θ角时，导线切割磁感线产生的感应电动势大小为E＝Blvsin θ.

(3)若导线是曲折的，或导线与速度v不垂直时，E＝Blv中的l应为导线在与v垂直的方向上的投影长度，即有效切割长度．

例3　(2019·诺丁汉大学附中高二上学期期中)下列各种情况中的导体切割磁感线产生的感应电动势最大的是(　　)

答案　C

例4　如图8所示，导轨OM和ON都在纸面内，导体AB可在导轨上无摩擦滑动，AB⊥ON，若AB以5 m/s的速度从O点开始沿导轨匀速右滑，导体与导轨都足够长，匀强磁场的磁感应强度为0.2 T．问：

图8

(1)第3 s末夹在导轨间的导体长度是多少？此时导体切割磁感线产生的感应电动势为多大？

(2)3 s内回路中的磁通量变化了多少？此过程中的平均感应电动势为多少？

答案　(1)5 m　5 V　(2) Wb　 V

解析　(1)第3 s末，夹在导轨间导体的长度为：

l＝vt·tan 30°＝5×3×tan 30° m＝5 m

此时E＝Blv＝0.2×5×5 V＝5 V

(2)3 s内回路中磁通量的变化量ΔΦ＝BS－0＝0.2××15×5 Wb＝ Wb

3 s内电路中产生的平均感应电动势为：＝＝ V＝ V.

E＝n与E＝Blv的比较

1．区别：E＝n研究的是整个闭合回路，适用于计算各种电磁感应现象中Δt内的平均感应电动势；E＝Blv研究的是闭合回路的一部分，即做切割磁感线运动的导体，只适用于计算导体做切割磁感线运动产生的感应电动势，可以是平均感应电动势，也可以是瞬时感应电动势．

2．联系：E＝Blv是由E＝n在一定条件下推导出来的，该公式可看成法拉第电磁感应定律的一个推论．

1．(对法拉第电磁感应定律的理解)如图9所示，半径为R的n匝线圈套在边长为a的正方形abcd之外，匀强磁场垂直穿过该正方形，当磁场以的变化率变化时，线圈产生的感应电动势的大小为(　　)

图9

A．πR2     B．a2     C．nπR2     D．na2

答案　D

解析　由题意可知，线圈中磁场的面积为a2，根据法拉第电磁感应定律可知，线圈中产生的感应电动势大小为E＝n＝na2，故选项D正确．

2.(公式E＝Blv的应用)如图10所示，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为E，将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线，置于与磁感应强度相互垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为E′.则等于(　　)

图10

A.  B.  C．1  D.

答案　B

解析　设折弯前金属棒切割磁感线的长度为L，E＝BLv；折弯后，金属棒切割磁感线的有效长度为l＝＝L，故产生的感应电动势为E′＝Blv＝B·Lv＝E，所以＝，B正确．

3．(两公式的对比应用)(多选)如图11所示，一导线弯成半径为a的单匝半圆形闭合回路．虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面向下．回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直．从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论正确的是(　　)

图11

A．感应电动势最大值E＝2Bav

B．感应电动势最大值E＝Bav

C．感应电动势的平均值＝Bav

D．感应电动势的平均值＝πBav

答案　BD

解析　在半圆形闭合回路进入磁场的过程中，有效切割长度如图所示，所以进入过程中l先逐渐增大到a，然后再逐渐减小为0，由E＝Blv可知，最大值Emax＝Bav，最小值为0，A错误，B正确；平均感应电动势为＝＝＝πBav，故D正确，C错误．

4．(公式E＝n的应用)如图12甲所示，有一匝数为100匝的线圈，单匝线圈的面积为100 cm2.线圈总电阻为0.1 Ω，线圈中磁场均匀变化，其变化规律如图乙所示，且磁场方向垂直于线圈平面向里，线圈中产生的感应电动势多大？

图12

答案　0.1 V

解析　取线圈为研究对象，在1～2 s内，其磁通量的变化量为ΔΦ＝Φ2－Φ1＝(B2－B1)S，磁通量的变化率为＝，由公式E＝n得

E＝100× V＝0.1 V.

考点一　公式E＝n的理解和应用

1．(2019·华南师大附中期末)如图1所示，A、B两闭合线圈用相同的导线绕成，A有10匝，B有20匝，两线圈半径之比为2∶1，均匀磁场只分布在B线圈内．当磁场随时间均匀减弱时(　　)

图1

A．A中无感应电流

B．A、B中均有恒定的感应电流

C．A、B中感应电动势之比为1∶1

D．A、B中感应电流之比为1∶1

答案　B

解析　磁场随时间均匀减弱，穿过闭合线圈A、B的磁通量都均匀减少，A、B中都产生恒定的感应电流，故选项A错误，B正确；线圈中产生的感应电动势E＝n，nA∶nB＝1∶2，则E1∶E2＝1∶2，由R＝ρ，l＝2nπr，导线横截面积相等，得RA∶RB＝1∶1，由欧姆定律I＝得，IA∶IB＝1∶2，故选项C、D错误．

2.(多选)如图2所示，一个匝数为100的圆形线圈，面积为0.4 m2，电阻r＝1 Ω.在线圈中存在0.2 m2的垂直线圈平面向外的圆形匀强磁场区域，磁感应强度B＝0.3＋0.15t (T)．将线圈两端与一个阻值为R＝2 Ω的定值电阻相连接．则下列说法正确的是(　　)

图2

A．通过定值电阻的感应电流方向向上

B．回路中的感应电流大小不变

C．定值电阻消耗的电功率为2 W

D．定值电阻消耗的电功率为3 W

答案　ABC

解析　磁通量随时间均匀增加，根据楞次定律和安培定则可知，通过定值电阻的感应电流方向向上，选项A正确；由＝0.15 T/s可知，回路中产生的感应电动势E不变，则感应电流不变，选项B正确；E＝nS＝100×0.15×0.2 V＝3 V，则回路的电流I＝＝ A＝1 A，定值电阻消耗的电功率为PR＝I2R＝2 W，选项C正确，D错误．

3．(2019·北京工业大学附属中学上学期月考)通过一单匝闭合线圈的磁通量为Φ，Φ随时间t的变化规律如图3所示，下列说法中正确的是(　　)

图3

A．0～0.3 s时间内线圈中的感应电动势均匀增加

B．第0.6 s末线圈中的感应电动势是4 V

C．第0.9 s末线圈中的感应电动势的值比第0.2 s末的小

D．第0.2 s末和第0.4 s末的感应电动势的方向相同

答案　B

解析　根据法拉第电磁感应定律E＝可知，0～0.3 s时间内，E1＝ V＝ V，保持不变，故A错误；由题图可知，在0.3～0.8 s时间内，线圈中磁通量的变化率不变，则感应电动势也不变，所以第0.6 s末线圈中的感应电动势E2＝ V＝4 V，故B正确；同理，第0.9 s末线圈中的感应电动势E3＝ V＝30 V，大于第0.2 s末的感应电动势的值，故C错误；由E＝可知，0～0.3 s感应电动势为正，0.3～0.8 s感应电动势为负，所以第0.2 s末和第0.4 s末的感应电动势的方向相反，故D错误．

4.(多选)(2020·杭州西湖高中高二月考)单匝矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，转轴垂直于磁场，若线圈所围面积里磁通量随时间变化的规律如图4所示，则0→D的过程中(　　)

图4

A．线圈在0时刻感应电动势最大

B．线圈在D时刻感应电动势为零

C．线圈在D时刻感应电动势最大

D．线圈在0至D时间内平均感应电动势为0.4 V

答案　ABD

考点二　公式E＝Blv的应用

5．如图5所示，在竖直向下的匀强磁场中，将一个水平放置的金属棒ab以水平初速度v0抛出，设运动的整个过程中不计空气阻力，则金属棒在运动过程中产生的感应电动势大小将(　　)

图5

A．越来越大  B．越来越小

C．保持不变  D．无法确定

答案　C

6．如图6所示，平行导轨间距为d，其左端接一个电阻R，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于平行金属导轨所在平面向上，一根金属棒与导轨成θ角放置，金属棒与导轨的电阻均不计．当金属棒沿垂直于棒的方向以恒定的速度v在导轨上滑行时，通过电阻R的电流大小是(　　)

图6

A.  B.

C.  D.

答案　D

解析　金属棒MN垂直于磁场放置，运动速度v与棒垂直，且v⊥B，即已构成两两相互垂直的关系，MN接入导轨间的有效长度为l＝，所以E＝Blv＝，I＝＝，故选项D正确．

7．如图7所示，PQRS为一正方形导线框，它以恒定速度向右进入以MN为边界的匀强磁场中，磁场方向垂直线框平面向里，MN与水平直线成45°角，E、F分别为PS和PQ的中点．则(　　)

图7

A．当E点经过边界MN时，线框中的感应电流最大

B．当P点经过边界MN时，线框中的感应电流最大

C．当F点经过边界MN时，线框中的感应电流最大

D．当Q点经过边界MN时，线框中的感应电流最大

答案　B

解析　当P点经过边界MN时，有效切割长度最长，感应电动势最大，所以感应电流最大，故B正确．

8．(多选)如图8所示，一导线折成边长为a的正三角形闭合回路，虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面向下，回路以速度v向右匀速进入磁场，边长CD始终与MN垂直，从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论中正确的是(　　)

图8

A．导线框受到的安培力方向始终向上

B．导线框受到的安培力方向始终向下

C．感应电动势的最大值为Bav

D．感应电动势的平均值为Bav

答案　CD

9．(多选)(2019·福建师大附中高二期末)用均匀导线做成的单匝矩形线圈abcd长为3l、宽为l，矩形线圈的一半放在垂直纸面向外的匀强磁场中，线圈总电阻为R，如图9所示．当磁场的磁感应强度大小以B＝3＋2t(T)的规律变化时，下列说法正确的是(　　)

图9

A．线圈中感应电流的方向为abcda

B．线圈中产生的感应电动势大小为3l2(V)

C．线圈中产生的感应电流大小为(A)

D．线圈受到的安培力的方向向右

答案　BD

解析　磁感应强度增大，由楞次定律可知，线圈中产生的感应电流沿adcba方向，故A错误；由法拉第电磁感应定律可得感应电动势E＝＝·S＝2×1.5l2＝3l2(V)，故B正确；线圈中产生的感应电流大小为I＝＝(A)，故C错误；根据左手定则判断线圈所受的安培力的方向向右，故D正确．

10.在范围足够大、方向竖直向下的匀强磁场中，B＝0.2 T，有一水平放置的足够长的光滑框架，宽度为l＝0.4 m，如图10所示，框架上放置一质量为0.05 kg、接入电路的电阻为1 Ω的金属杆cd，金属杆与框架垂直且接触良好，框架电阻不计．若cd杆在水平外力的作用下以恒定加速度a＝2 m/s2由静止开始向右沿框架做匀变速直线运动，则：

图10

(1)在5 s内平均感应电动势是多少？

(2)第5 s末，回路中的电流为多大？

(3)第5 s末，作用在cd杆上的水平外力大小为多少？

答案　(1)0.4 V　(2)0.8 A　(3)0.164 N

解析　(1)金属杆5 s内的位移：x＝at2＝25 m，

金属杆5 s内的平均速度＝＝5 m/s

(也可用＝ m/s＝5 m/s求解)

故平均感应电动势E＝Bl＝0.4 V.

(2)金属杆第5 s末的速度v＝at＝10 m/s，

此时回路中的感应电动势：E′＝Blv

则回路中的电流为：

I＝＝＝ A＝0.8 A.

(3)金属杆做匀加速直线运动，则F－F安＝ma，

即F＝BIl＋ma＝0.164 N.

11.如图11所示，线圈内有理想边界的磁场，开始时磁场的磁感应强度为B0.当磁场均匀增加时，有一带电微粒静止于平行板(两板水平放置)电容器中间，若线圈的匝数为n，平行板电容器的板间距离为d，粒子的质量为m，带电荷量为q.(重力加速度为g，设线圈的面积为S)求：

图11

(1)开始时穿过线圈平面的磁通量的大小；

(2)处于平行板电容器中的粒子的带电性质；

(3)磁感应强度的变化率．

答案　(1)B0S　(2)负电　(3)

解析　(1)开始时穿过线圈平面的磁通量：Φ＝B0S.

(2)由楞次定律，可判断出平行板电容器上极板带正电，故粒子应带负电．

(3)根据法拉第电磁感应定律可得：E＝n

ΔΦ＝ΔB·S，由平衡条件可知：q＝mg，

联立解得：＝.

12．(2019·南通中学高二上学期期中)如图12甲所示，在一个正方形金属线圈区域内存在着磁感应强度B随时间变化的匀强磁场，磁场的方向与线圈平面垂直．金属线圈所围的面积S＝200 cm2，匝数n＝1 000，线圈电阻的阻值为r＝2.0 Ω.线圈与阻值R＝8.0 Ω的定值电阻构成闭合回路．匀强磁场的磁感应强度随时间变化的情况如图乙所示，求：

图12

(1)在t1＝2.0 s时线圈产生的感应电动势的大小；

(2)在t1＝2.0 s时通过电阻R的感应电流的大小和方向；

(3)在t2＝5.0 s时刻，线圈端点a、b间的电压．

答案　(1)1 V　(2)0.1 A　方向为b→R→a　(3)3.2 V

解析　(1)根据题图乙可知，0～4.0 s时间内线圈中的磁感应强度均匀变化，t＝2.0 s时，B2＝0.3 T，则在t1＝2.0 s时的感应电动势E1＝n＝n＝1 V

(2)在0～4.0 s时间内，根据闭合电路欧姆定律得，闭合回路中的感应电流I1＝＝0.1 A，由楞次定律可判断流过电阻R的感应电流方向为b→R→a

(3)由题图乙可知，在4.0～6.0 s时间内，线圈中产生的感应电动势

E2＝n＝nS＝4 V

根据闭合电路欧姆定律，t2＝5.0 s时闭合回路中的感应电流I2＝＝0.4 A，方向为a→R→b

则Uab＝I2R＝3.2 V.